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算法小技巧
阅读量：263 次
发布时间：2019-03-01

本文共 13735 字，大约阅读时间需要 45 分钟。

算法题的小技巧（持续更新）

本文将提及：

  • 快读！
  • STL几个重要函数的实际应用
  • 容易错的
  • 前缀和与差分
  • 双指针算法
  • 高精度加减乘除乘方
  • 二进制与倍增(LCA,RMQ）
  • 区间合并
  • 快速幂，矩阵快速幂
  • 离散化
  • 贪心（因为贪心能讲的比较少，是个试出感觉和典型例题堆出来的算法，就在小技巧讲掉吧）
  • 启发式合并
  • 分块
  • 拆点
  • 莫队算法(树上莫队)
  • 对拍与debug技巧

如果本文对你有帮助，记得点赞！

快读

单个字符的处理比数字快，于是我们把数字当成字符来读。（要读很大的数据的时候可以节省很多时间）

template
   
    inline void read(T &x){       x=0;T f=1,ch=getchar();    while(!isdigit(ch))  {   if(ch=='-')  f=-1;  ch=getchar();}    while(isdigit(ch))  {   x=x*10+ch-'0';  ch=getchar();}    x*=f;}

STL

参考了《算法竞赛进阶指南》stl部分和若干博客。

头文件可以用bits/stdc++.h

iostream

另：输入if else if的时候一定要把整个补全！

ios::sync_with_stdio(false);while(cin>>n,n)//用于判断输入是否为0终止cin>>op>>x;if(op=="A")//用于多操作cout.precision(2);//设置输出精度

algorithm

#include
   
    //对序列进行的一系列基本操作
  • sort

像sort，reverse之类，都是针对一个左闭右开的区间。

如对一个从a[0]到a[n-1]的数组排序，我们总是这么写:
sort(a,a+n);

如果是a[1]到a[n]:

sort(a+1,a+n+1)

如果是对vector

sort（v.begin(),v.end()）即可。

对pair排序时默认先对first再对second排序。

sort的第三个参数是一个cmp函数，用于我们对比较进行定义，也可以对小于号进行重载来实现这个功能。常用于你写了一个结构体，要对他们的实体排序的情况。

举个栗子：

int example[N];vector
   
     vecample;bool cmp(int a,int b){   	return a>b;}sort(example,example+n);sort(vecample.begin(),vecample.end());

再举个栗子：

struct haha{   	int x,y;}s[N];bool operator <(const haha &a,const haha &b){   	return a.x>b.x||a.x
  • lower_bound()/upper_bound()

首先使用这两个函数的数组必须是有序的。

这是两个二分查找的函数，lower_bound()返回第一个大于等于x的最小元素。
upper_bound()返回第一个大于x的元素。
使用嘛就是lower_bound(a,a+n,x)啦，是不是非常简单呢？
但是有人可能会疑惑，都是查找大于等于x的元素，为什么一个是lower一个是upper？
因为upper是用来倒过来算小于等于x的最大元素的。

举个栗子：

在有序int数组中查找大于等于x的最小整数的下标

int i=lower_bound(a,a+n,x)-a;

再举个栗子：

在有序vector中查找小于x的最大整数

int y=*--upper_bound(a.begin(),a.end(),x);
  • next_permutation

把指定部分看成一个排列，求出这些元素构成的全排列中，字典序排在下一个的排列，直接在序列上更新。

若不存在返回false
举个栗子：求1~n的全排列

for(int i=1;i<=n;a[i]=i,i++);do{   	for(int i=1;i<=n;i++) cout<
   
    <<' ';	cout<
  • unique

去重，这个离散化很常用了。

和sort一样左闭右开。
计算去重后的个数：

int m=unique(a.begin(),a.end())-a.begin();int m=unique(a,a+n)-a;

离散化：

erase(unique(a.begin(),a.end()),a.end());

关于离散化

  • reverse
    翻转，没什么好说的。
    和sort一样左闭右开。
reverse(a.begin(),a.end());reverse(a,a+n);
  • __gcd(a,b)//前面有两个横

cstring

#include
  • 写在前面：c++中string的效率很低，能用字符数组就不要用string了。
  • memset

只能清零或者-1，或者0x3f，0xcf。

但是注意0x3f，0xcf的值有时候会被修改，要灵活进行判定。比如floyd算法中：if(d[i][j]>2*INF)。
如果是bool数组，bool是一字节的可以直接赋值。比如
memset(a,1,sizeof a);

  • strcpy

两个变量，前一个是要复制到的目标数组起始地址，后一个是被复制的原数组起始地址，不要写反了。。

举个栗子：

char str1[]="sample";	char str2[40];	char str3[40];	strcpy(str2,str1);	strcpy(str3,"successful");
  • strncpy
    指定位数的strcpy.最后要自己补充\0
strncopy(str2,str1,sizeof(str2));strncpy(str3,str2,5);str3[5]=''\0';
  • strcat

字符串连接

strcpy(str,"this ");strcat(str,"is ");strcat(str,"cat.");
  • strncat

指定位数的字符串连接

strcpy(str1,"examp");strcpy(str2,"leeeee");strncat(str1,str2,2);
  • strcmp

=0表示相等。

strcmp(key,buffer)!=0
  • strchr

找出第一个此字母在字符串中的位置。

当然找所有也是可以写的，代码如下：

char str[]="this is a sample."key[i]=strchr(str,'s');while(key!=Null){   	key[++i]=strchr(key[i-1]+1,'s');}
  • strstr

找出第一个此字符串在原字符串中的位置。

char str[]="this is a sample."key=strstr(str,"sample");
  • strlen

求长度，不包括\0

这些知识只是最初级的字符串处理办法，还有回文串，模式匹配串需要处理。
简单提及一些经典的字符串算法，在以后我的博文中也会提及。

  1. KMP(周期问题)
  2. Trie(异或问题)
  3. LCP
  4. Manacher(回文串)
  5. 字符串哈希（后缀树，后缀数组（波兰表），后缀自动机，后缀仙人掌）
  6. 有限状态自动机
  7. AC自动机

bitset

#include
   
    //声明：bitset<10000> s;//赋值s[0]=1;

bitset相当于二进制压缩，n位bitset做一次位运算复杂度只有n/32.

  • count

返回有多少位为1

  • any/none

若s所有位为0，s.none()=true；s.any()=false;

若s有一位为1，s.any()=true;s.none()=false;

  • set/reset/flip

s.set():把所有位变为1

s.set(k,v):把第k位变成v

s.reset():把所有位变为0

s.reset(k):把第k位变成0

s.flip():所有位取反

s.flip(k):第k位取反

讲一些位运算基本操作：

  • (n>>k)&1 取出第k位
  • n&((1<<k)-1) 取后k位
  • n^(1<<k) 第k位取反
  • n|(1<<k) 第k位赋值1
  • n&(~(1<<k)) 第k位赋值0
  • n&(-n) 取最右边的1的左边一个数
  • x&(x+1) 把右边连续的1变成0
  • x|(x+1)把右边连续的0变成1
  • (x^(x+1))>>1 去掉右边连续的1
  • x&(x-1)==0偶数，!=0奇数
  • (x&y)+((x^y)>>1)位运算求平均数
  • 位运算求两数之和：
int Add(int a,int b){   	if(b==0) return a;//直到没有进位为止 	int sum,carry;	sum=a^b;//完成没有进位的加法运算	carry=(a+b)<<1;//进位左移	return Add(sum,cacrry); }
  • 位运算统计1的个数
int num(int n){   	int t=0;	while(n)	{   		t++;		n=n&(n-1);	}	return tl}

这些在最短hamildon路径，二进制枚举，状态压缩，树状数组lowbit函数都有应用。在二进制与倍增那一节会提及。

一些数据结构的头文件

这些因为比较容易理解，直接上例子，读者可以自行调试比较结果来掌握这些数据结构。

pair

我们先来讲一下pair这也是个常用的结构，不过不需要头文件。

pair是存两个数的结构体的简单写法，有first和second。比较的时候默认先比较first和second，多用于一个区间有l和r，把这两个都存下来。比如贪心法的活动安排问题，经典的区间合并问题。
还可以直接开pair数组，或者用其他数据结构套pair。

pair
   
     p[N];

vector

vector是个变长的动态数组，数组中可以放数，字符串，pair，结构体等等。

vector不是链表，虽然他也接受随机存取，但是并不是o（1）的，因此我们总是在最后存数或者取数。
声明：

vector
   
     a;vector
    
      b[233];vector
     
       c;

基本函数：

empty和size是所有数据结构共享的。

a.size()a.empty() a.clear()a.front()//a[0] *a.begin()a.back()//*--a.end() a[a.size()-1]a.push_back(x)a.pop_back()

迭代器：

迭代器就像STL容器的指针，可以用*操作符解除引用
迭代器之间可以相加减，也可以与整数相加减。
a.begin()返回指向第一个元素的迭代器、
所有的容器都可以视作一个前闭后开的结构，a.end()返回vector最后一个元素再往后的边界。
*a.end()与a[n]一样是越界访问。

用迭代器遍历整个vector：

for(vector
   
    ::iterator it=a.begin();it!=a.end();it++){   	cout<<*it<

迭代器不仅仅在vector可以用，其余数据结构里都可以。

实例：vector模拟邻接表

vector
   
     ver[N],edge[N];void add(int x,int y,int z){   	ver[x].push_back(y);	edge[x].push_back(z);} for(int i=0;i

【我记得蓝桥杯国赛训练营图论都是vector写的，可以都贴上来】

其实图论更常用的是链式前向星（数组模拟邻接表），先不写了以后写。

queue

其中包含queue和priority_queue

对于正常的队列，有方法：push,pop,front,back
队列涉及的知识点很多，像等。
对于优先队列，有方法push，pop，top
优先队列可以重载运算符，重载的也是小于号，在讲sort的时候说过了。
priority_queue可以实现大根堆，如果需要实现小根堆，把要插入的元素取相反数插入，取出后再还原。另一种思路priority_queue<int,vector,greater>。

priority_queue
   
    
     ,greater
     
      > pq;//清空while(!pq.empty()) pq.pop();

当优先队列里是pair的时候，如果用定义greater，则first和second都会逆序，如果只需要first逆序，second正序，还是用负号模拟小根堆。

还是要会手写的，因为priority_queue只能做到查找最大值O(1)，插入O(logn)，删除根O(logn)，而手写堆可以做到修改O(logn)，删除任意一个。

其中最重要的操作是up()和down()。
【以后做到题目再补充代码吧】

另外，优先队列也能实现。

。
单调栈和单调队列O(n)
一般先想暴力，如果具有符合单调栈或者单调队列的一种单调性，则尝试思考这两种数据结构。

单调栈用的是stack，如果不单调就把前面的弹出去。

应用场景

有个往长方形上贴广告面积（或者只算块数）的裸题

int n=hight.size(); vector
   
     stk; for(int i=0;i
    
     =heights[i]) stk.pop(); 	if(stk.empty()) left.push_back(-1); 	else left.push_back(stk.top()); 	stk.pop(); 	stk.push(i); } while(stk.size()) stk.pop(); for(int i=n-1;i>=0;i++)//right不能用pushback会发生翻转问题  {    	while(stk.size()&&heights[stk.top()]>=heights[i]) stk.pop(); 	if(stk.empty()) right[i]=n; 	else right[i]=stk.top(); 	stk.push(i); } int res=0; for(int i=0;i

接雨水：按层计算。重点是，栈里面还没完全空的时候，加上一个细长的长方形的面积

int trap(vector
   
     &height) {    	int res=0; 	stack
    
      stk; 	 	for(int i=0;i

单调队列其实就是个可以pop_front的单调栈，我们利用deque实现。

应用场景：。
滑动窗口裸题：

vector
   
     res; deque
    
      q; for(int i=0;i
     
      q.front()) q.pop_front(); 	while(q.size()&&nums[q.back()]<=nums[i]) q.pop_back();//其实也就像一个队头会出队的单调栈  	q.push_back(i); 	if(i>=k-1)	res.push_back(nums[q.front()]);//满了就开始push_back了  }  return res;

环形子数组最大和：维护的是前缀和一段的最值。

另外：看到环把他扯成2n长度的线。

int n=A.size(); for(int i=0;i
sum(n*2+1); for(int i=1;i<=n*2;i++) { sum[i]=sum[i-1]+A[i-1]; } int res=INI_MIN; deque
q; q.push_back(0); for(int i=1;i<=n*2;i++) { if(q.size()&&i-n>q.front()) q.pop_front(); if(q.size()) res=max(res,sum[i]-sum[q.front()]); while(q.size()&&sum[q.back()]>=sum[i]) q.pop_back(); q.push_back(i); } return res;

deque

双端队列deque是一个支持在两端高效率插入删除的vector。可以随机索引访问。也可以运用

begin,end,
front,back,
push_front,push_back,
pop_front,pop_back来对首尾进行高效率操作。

stack

操作： push/pop/top

运用： 。

set

set最重要的作用就是去重了

包含set（有序去重）,multiset（有序多重）,unordered_set（无序去重）
set和multiset需要定义小于号。
在set中，迭代器遍历的顺序是从小到大的，s.begin()是指向最小元素的迭代器。–s.end()是指向最大元素的迭代器。
s.insert(x)
s.find(x): 找到第一个等于x的元素，返回迭代器。如果没有则返回s.end()
s.lower_bound(x)/s.upper_bound(x)
s.count(x)
s.erase(it) 删除迭代器指向的元素
s.erase(x) 删除所有等于x的元素

map

map的内部基于平衡树实现。

平衡树BST就是任何子树的左右子树高度相差最多为1。
让h维持在logn左右，时间复杂度比较小。
有时候BST也要手写，比如动态维护有多少个>=某个数的数，请自行思考。
有以下几种：

  • 红黑树
  • AVL
  • SBT
  • Treap(比较重要)
  • 伸展树

举个栗子：用map统计字符串出现的次数

map
   
     h;char str[25];for(int i=1;i<=n;i++){   	cin>>str;	h[str]++;} for(int i=1;i<=m;i++){   	cin>>str;	if(h.find(str)==h.end()) puts("0");	else cout<

unordered_map和哈希

map和unordered_map都是做哈希操作的。

哈希是一种映射，把很多数映射到比较少的数上，就能节省时间空间了0v0
但是这不可避免会发生冲突，这时候有两种方式解决冲突：
在这里插入图片描述
首先，一般来说我们取哈希表的大小都是数据大小两到三倍的质数。其次，不要映射成0，容易冲突。
开放定址：

int h[N];int i=(x%N+N)%N;while(h[i]!=Null&&h[i]!=x){   	i++;	if(i==N)//找到末尾了	i=0; } return i;

拉链：

int h[N],e[N],ne[N],idx;//数组模拟邻接表void insert(int x){   	int k=(x%N+N)%N;	e[idx]=x;	ne[idx]=h[k];	h[k]=idx++;} bool find(int x){   	int k=(x%N+N)%N;	for(int i=h[k];i!=-1;i=ne[i])	{   		if(e[i]==x) return true;	}	return false;}

上面是哈希表的实现方式，实际做题的时候我们用unordered_map就可以解决。

定义、查询和遍历操作

#include
   
    unordered_map
    
     //key,valuehash["hello"]++;//查询 if(hash.count("hello")!=0)if(hash.find("hello"!=hash.end()))//遍历 for(unordered_map
     
      ::iterator it=hash.begin();it!=hash.end();it++)

如果是一个自定义的结构体（这里用了Acwing yxc博文的代码和讲解）：

(1) 哈希函数，需要实现一个class重载operator()，
就是你自定义的类型代表哪个数（size_t）？写一个这样的函数。

(2) 重载等于号。

代码：

#include 
   
    #include 
    
     #include 
     
      using namespace std;class Myclass{   public:    int first;    vector
      
        second;    // 重载等号，判断两个Myclass类型的变量是否相等    bool operator== (const Myclass &other) const    {           return first == other.first && second == other.second;    }};// 实现Myclass类的hash函数namespace std{       template <>    struct hash
       
            {           size_t operator()(const Myclass &k) const        {               int h = k.first;            for (auto x : k.second)            {                   h ^= x;            }            return h;        }    };}int main(){       unordered_map
        
          S; Myclass a = { 2, { 3, 4} }; Myclass b = { 3, { 1, 2, 3, 4} }; S[a] = 2.5; S[b] = 3.123; cout << S[a] << ' ' << S[b] << endl; return 0;}作者：yxc链接：https://www.acwing.com/blog/content/9/来源：AcWing

hash一般在题目数字比较庞大爆ull的时候使用。或者用来降低复杂度，避免重复遍历，就像查表一样O(1)插入和查询。

此外还有很多不在头文件的数据结构，在数据结构的博文中会进行详细的扩充。

容易错的

忘记 输入，==，忘记初始化，浮点数精度，一些语句放循环内还是循环外，数组开小了

一些边缘数据一定要记得考虑！0和1和2之类的！

前缀和与差分

前缀和用于求一个数组中，从l到r这一段的和。

动态维护前缀和请转到线段树和树状数组。

前缀最值

维护一个前缀的最值，实时比较实时操作。
例如下面这题：LC155

//min stack void push(int x) {    	stk.push(x); 	if(stk_min.empty()) stk_min.push(x); 	else stk_min.push(min(x,stk_min.top())); }  void pop() {    	stk.pop(); 	stk_min.pop(); }  int top() {    	return stk.top(); } int getMin() {    	return stk_min.top(); }

双指针算法

双指针在leetcode里有很多题目都很好。

先想暴力怎么做，看看双指针能否优化（一般会具有某种单调性，让i和j之间相互约束从而减少复杂度）。

归并排序就是一个典型的双指针算法，这是用于对比两个数组的。值得一提的是，如果要放在原数组中建议倒序遍历。

unique函数的实现也是双指针算法，一个指针指向遍历到哪里，另一个指向数字放到哪里。
在排好序的数组中找出两数之和等于k，可以利用单调性，若是i1>i2必定有j1<j2，所以一个正序一个倒序遍历即可。

下面是两题比较有思考价值的：

最小覆盖子串问题
两个指针就像两个边界，维护一个窗口，开hash表统计T里面字母出现次数。
这里有个技巧，我们把目标的数值作为hash值，就能统一用hash[i]是否为0表示我们是否达到了要求。
如果多余了，前指针就往后指，达到目标的时候与res比较看是否更短，更新最小值。

unordered_map
   
     hash;for(auto c:t) hash[c]++;//我们需要的字母都变成1 int cnt=hash.size();string res;for(int i=0,j=0;i
    
     i-j+1)			res=substr(j,i-j+1);	}

括号匹配问题

只要涉及括号的匹配，就会有个catlan数的性质出现。
设左括号为1，有括号为-1.
括号序列合法等价于所有前缀和大于等于0且总和等于0.
分cnt与零的关系分类讨论。
最后还要反过来做一遍。于是我们可以写一个函数做，这样不用写两遍，直接reverse原序列再做。
代码：

int work(string s){   	int res=0;	for(int i=0,start=0,cnt=0;i

高精度

高精度加法

思路：先把a和b倒序一下，如果哪个长就继续做和0的加法。
add中保存好进位，往vector中push当前位。
最后别忘了倒序回来。

#include
   
    #include
    
     #include
     
      #include
      
       using namespace std;vector
       
         v;string a,b;void add(char a,char b,int &next){       int sum=(a-'0')+b-'0'+next;    int local=sum%10;    v.push_back(local);    next=sum/10;}int main(){       cin>>a>>b;    reverse(a.begin(),a.end());    reverse(b.begin(),b.end());    int i=0;    int next=0;    while(i

高精度乘法

思路：保存进位，push当前位。如果最后还有进位也要push进去。

#include
   
    #include
    
     #include
     
      #include
      
       using namespace std;vector
       
         v;string a;int b;void multi(string a,int b){       int t=0;    for(int i=0;i
        
         >a>>b; reverse(a.begin(),a.end()); multi(a,b); reverse(v.begin(),v.end()); for(int i=0;i

高精度除法

思路：和列除法式子一样，余数乘10进行下一轮。
另：最后倒过来删除前导零。

#include
   
    #include
    
     #include
     
      #include
      
       using namespace std;vector
       
         v;string a;int b,r=0;void div(string a,int b,int &r){       for(int i=0;i
        
         1&&v.back()==0) { v.pop_back(); } }int main(){ cin>>a>>b; div(a,b,r); reverse(v.begin(),v.end()); for(int i=0;i

二进制与倍增

这个仍然参考了《算法竞赛进阶指南》0v0

下面要讲的快速幂就是一种倍增技巧的应用。
背包问题中可以用倍增优化。
ST算法实现LCA也是倍增的应用。

倍增简而言之就是由于任何整数都可以表示若干个2的幂次和，我们用2的幂次和表示0~2k-1，只需要logK个代表值，大大降低了复杂度。

如果空间太大，线性递推没办法满足时间与空间复杂度要求，也可以用倍增进行优化。
【代码以后补充？】

快速幂

二分幂和快速幂的想法很相似，只不过不用二进制写，这里就不说了。当进行数的幂次运算时，复杂度由O(n)降低为O(logn)。

思路：枚举每一位，如果是1，则res*=a，如果不是1，就将a=a*a提升一位。

一般这种题都会越界要记得%mod

代码：

int quickpow(int a,int b){   	int res=1;	while(b)	{   		if(b&1)		{   			res=res*a%mod; 		}			a=a*a%mod;		b=b>>1; 	}	return res;	}

矩阵快速幂同理，只不过初始化的时候是一个单位矩阵，并且乘的时候用一个函数实现矩阵乘法（矩阵用一个记录维度和内容的结构体存储）：

struct matrix {      int a[100][100];   int n;};matrix matrix_mul(matrix A, matrix B, int mod) {       matrix ret;    ret.n = A.n;    for (int i = 0; i < ret.n; i++) {           for (int j = 0; j < ret.n; j++){               ret.a[i][j] = 0;        }    }    for (int i = 0; i < ret.n; i++) {           for (int j = 0; j < ret.n; j++) {               for (int k = 0; k < A.n; k++) {                   ret.a[i][j] = (ret.a[i][j] + A.a[i][k] * B.a[k][j] % mod) % mod;            }        }    }    return ret;}matrix unit(int n){       matrix ret;    ret.n=n;    for(int i=0;i

单纯的矩阵乘法需要判断中间那一维是否能接上：

#include 
   
    using namespace std;struct matrix{       int a[100][100];    int n,m;};matrix matrix_mul(matrix A,matrix B){       matrix ret;    ret.n=A.n;    ret.m=B.m;    for(int i=0;i
    
     >A.n>>A.m;    for(int i=0;i
     
      >A.a[i][j];        }            	    }            cin>>B.n>>B.m;    for(int i=0;i
      
       >B.a[i][j];        }         }     if(A.m!=B.n)     {            cout<<"No"<

动态规划中有一个经典题目，如何加括号让矩阵的连乘次数最少。

离散化

我们在讲STL的时候已经提到，用erase(unique(v.begin(),v.end()),v.end())这句话进行离散化。那么离散化的应用场景是什么呢？

一些数字，他们有着很大的范围，但是个数很少，并且这些数字大小本身不重要，只看他们之间的大小关系。

数量庞大的方块，他们之间有的有颜色，但大多没颜色。

一个超大的迷宫，空白的地方很多。

所以离散化的应用场景大家就自己意会吧。

【写到题目再更】
写太多了，其余寒假放到下篇讲。。。。

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